Spasić comenzó su carrera como futbolista en el club de su ciudad, el FK Radnički Kragujevac, y debutó con el primer equipo en 1984. Allí permaneció durante cuatro temporadas hasta que en 1988 el Partizan de Belgrado, uno de los equipos más fuertes de la liga yugoslava, se hizo con sus servicios. Su labor al frente de la zaga, con la que jugó 55 partidos en dos temporadas e incluso fue capitán, hizo que la selección de Yugoslavia comenzara a convocarlo para encuentros internacionales, y el futbolista estuvo presente en el plantel yugoslavo que jugó en el Mundial de Italia 1990 y que eliminó en octavos de final a la selección española.

Al término del Mundial, el Real Madrid fichó al futbolista por cuatro temporadas, y pagó cerca de 200 millones de pesetas por él. La contratación del jugador fue una sorpresa porque el club esperaba firmar a Des Walker, defensa del Nottingham Forest. Sin embargo, las negociaciones con la entidad inglesa se rompieron y el presidente del club, Ramón Mendoza, apostó por el jugador yugoslavo tras su actuación en Italia 1990. Spasić comenzó la temporada 1990/91 como titular, pero su rendimiento no fue el esperado y terminó relegado al banquillo. Después de anotar un gol en propia meta en un partido de máxima rivalidad frente al FC Barcelona, el Real Madrid le declaró transferible y le traspasó al CA Osasuna al final de la campaña.

En las tres temporadas que estuvo en el Osasuna, Spasić jugó 88 partidos. Cuando el club navarro descendió a Segunda División, el futbolista recaló en las filas del Club Atlético Marbella, para el que sólo jugó cinco partidos. En 1995 regresó al fútbol yugoslavo para fichar por el FK Radnički Jugopetrol por una temporada, y al término de la misma se retiró del fútbol profesional a los 31 años.

200 millones de las antiguas pesetas pagaría Ramón Mendoza en latemporada 1990/91 para hacerse con los servicios del defensayugoslavo, que sería recordado por el gol en propia puerta anotadofrente al Barcelona.

El ‘Agente Spasic’, tal y como fue bautizado el defensa yugoslavo nada más llegar a España por su semblante serio y su siniestra indumentaria, aterrizaba en la Casa Blanca el 17 de julio de 1990, avalado por las actuaciones consumadas con la elástica del Partizán de Belgrado (equipo en el que lucía el brazalete de capitán) y por la labor realizada en la selección de la ya extinta Yugoslavia. Con su combinado, de hecho, jugó el partido que acabaría desembocando en su fichaje por el Real Madrid, frente a España en el Mundial de 1990.
En el mencionado encuentro, Spasic ejerció un férreo marcaje sobre Emilio Butragueño que encandiló al por aquel entonces entrenador del Real Madrid, Alfredo Di Stéfano. La ‘Saeta rubia’ quedó prendada de la manera en la que Spasic anuló al Buitre y corrió a pedir su fichaje al presidente blanco de la época, Ramón Mendoza. Éste se negó en un primer momento porque al verle calvo pensaba que rozaba la treintena (tenía 25 años cuando aterrizó en el Santiago Bernabéu) aunque, finalmente, acabó accediendo a las pretensiones de Di Stéfano y pagando los 200 millones de las antiguas pesetas demandados por el Partizán de Belgrado.

Sobre el papel la cantidad invertida fue un auténtico dineral y viéndole sobre el terreno de juego se evidenció que la inversión era todavía, más elevada de lo que parecía a primera instancia. Ya en su debut, frente al Sevilla, dejó claro Spasic que no ofrecería en el Madrid marcajes similares al ejercido sobre Butragueño y pronto se ganó la animadversión de una grada que, para su disgusto, jamás vio en él las cualidades que ‘enamoraron’ al técnico argentino.

Las discretas actuaciones ejercidas por el defensa, sin embargo, no fueron las que dejaron una huella imborrable en los corazones blancos sino que lo fue el gol en propia puerta que anotó en el clásico frenteal Barcelona, el 19 de enero de 1991.

 En más de una ocasión ha calificado Spasic ese día como el peor de su carrera deportiva, puesto que, cuando Madrid y Barça empataban a uno de su cabeza nacía el gol que a la postre daría la victoria al cuadro catalán. El Camp Nou coreó su nombre en señal de sorna y Spasic jamás pudo superar la vergüenza sentida ese día, el mismo que escribió su condena en el club blanco. 

A final de temporada, y tras 22 partidos jugados, el Madrid se deshacía de él y Spasic probaba fortuna en Osasuna, donde consumó tres temporadas discretas. Posteriormente, recaló en el Atlético Marbella de Segunda División, donde sólo jugó 5 partidos y un año más tarde colgaba las botas en el Radnicky, club en el que, curiosamente, había dado sus primeros pasos futbolísticos.